Comprendre la croissance exponentielle

L'éclatement de la pandémie de Corona a également été pour beaucoup un cours accéléré de statistiques. Des notions telles que le temps de doublement, les axes logarithmiques, le facteur R, les moyennes mobiles et la surmortalité sont désormais dans toutes les bouches. Mais connaître les fonctions mathématiques ne signifie pas pour autant que l'on puisse se représenter les processus qu'elles décrivent dans la réalité et dans toute leur ampleur.

Les gens ont beaucoup de mal avec la croissance exponentielle. Dans l'Inde ancienne, on racontait l'histoire de l'empereur qui avait été taquiné par un courtisan. Celui-ci lui dit : "Je ne veux rien d'autre, noble maître, que vous remplissiez l'échiquier de riz. Placez un grain de riz sur la première case, puis sur chaque case suivante, toujours le double de grains".

On ne sait pas sur quelle quantité de riz l'empereur comptait lorsqu'il s'est engagé dans ce commerce. Mais il est fort probable qu'il ait sous-estimé l'augmentation exponentielle sur les 64 cases de l'échiquier. Car au final, il devait au courtisan pas moins de 18 trillions, 446 billions, 744 billions, 73 milliards, 709 millions, 551 mille et 615 grains de riz, ce qui correspond à environ 11 milliards de wagons de chemin de fer remplis de riz.

La sous-estimation systématique de la croissance exponentielle peut avoir des effets dévastateurs en cas de pandémie. En effet, si les gens méconnaissent le rythme d'une propagation, ils perçoivent les mesures d'endiguement telles que le port du masque, les règles de distance ou la fermeture des locaux comme exagérées et y prêtent moins attention.

C'est ici qu'intervient un travail de recherche réalisé au Center for Law and Economics de l'ETH Zurich et à la haute école de Lucerne (HSLU) et publié dans la revue scientifique "Plos One". Martin Schonger, enseignant et responsable de filière à la HSLU et chercheur à l'ETH, et Daniela Sele, doctorante à l'ETH, ont voulu savoir si la manière dont la propagation exponentielle d'un virus était représentée influençait la sous-estimation systématique.

Grâce à d'autres expériences, ils savaient déjà que les gens sous-estiment la croissance exponentielle, même lorsqu'ils savent que les gens ont ce problème. Il ne sert donc pas à grand-chose d'informer les gens sur leur "biais de croissance exponentielle", comme la science appelle aujourd'hui le problème de l'échiquier de l'empereur indien. Les personnes informées se trompent tout autant que les autres dans leurs estimations.

Le temps plus facile à comprendre que le taux de croissance

Dans le cadre d'une expérience impliquant plus de 400 participants, l'équipe de chercheurs a toujours travaillé avec le même scénario : un pays enregistre actuellement 1000 infections au Covid. Le nombre de cas augmente de 26% par jour. Ainsi, en l'espace de 30 jours, le nombre d'infections augmente de manière exponentielle pour atteindre 1 million. Il est toutefois possible de réduire le taux de croissance de 26 pour cent à 9 pour cent grâce à des mesures d'endiguement.

Les chercheurs ont interrogé cet état de fait sous différentes perspectives ("frames") : combien d'infections pourraient être évitées grâce aux mesures ? Combien de temps pourrait-on gagner grâce aux mesures jusqu'à ce que la marque d'un million de cas soit atteinte ? Combien d'infections y aura-t-il après 30 jours si elles ne doublent pas tous les trois jours, mais seulement tous les huit jours ? Ce dernier point correspond d'ailleurs à une réduction du taux de croissance de 26 à 9 pour cent, ce que peu de gens reconnaissent intuitivement.

"Nous avons été surpris par la clarté et la cohérence des résultats de notre expérience", expliquent les deux chercheurs. Leur premier constat : les taux de croissance sont peu adaptés pour communiquer une telle évolution pandémique. Plus de 90 pour cent des participants se situaient bien trop bas lorsqu'ils devaient estimer une évolution exponentielle des contaminations à 30 jours. Ils ont pu estimer le nombre de cas de manière nettement plus pertinente s'ils pouvaient partir du temps de doublement.

Imaginer l'effet des mesures

Deuxième constat : les gens ont du mal à s'imaginer le nombre d'infections qui pourraient être évitées grâce à des mesures de confinement. Dans l'exemple ci-dessus (1000 cas, taux de croissance de 9 au lieu de 26 pour cent pendant 30 jours), les participants se sont largement trompés : Le participant ou la participante type (médiane) pensait que 8600 cas pouvaient être évités. En réalité, il y en a presque un million.

En revanche, si l'on s'interroge sur le nombre de jours qui peuvent être gagnés grâce à ces mesures (par exemple jusqu'à ce que les hôpitaux soient surchargés ou jusqu'à ce qu'un vaccin soit disponible), les estimations sont nettement meilleures.

Lors de l'expérience, les meilleurs résultats ont finalement été obtenus avec un "frame" dans lequel on demandait d'une part le temps gagné et d'autre part les conséquences si la période pendant laquelle le nombre d'infections doublait s'allongeait. En voici un exemple : "Grâce aux mesures de prévention prises aujourd'hui, nous pouvons partir du principe que le nombre de cas ne doublera plus tous les trois jours, mais tous les huit jours seulement. Nous gagnons ainsi 50 jours jusqu'à ce que la barre du million d'infections soit atteinte, ce qui nous permet de prendre d'autres mesures pour lutter contre la pandémie".

L'influence de la communication

La communication des autorités et la couverture médiatique n'ont certes pas fait l'objet de l'enquête menée pendant le lockdown du printemps 2020. Daniela Sele et Martin Schonger ont toutefois suivi de près la manière dont les mesures radicales ont été communiquées à l'époque et ont comparé leurs observations avec les résultats de leur recherche.

Dans la perception des auteurs, l'office fédéral de la santé publique et le groupe de travail scientifique indiquent souvent des temps de doublement et renoncent à mentionner des taux de croissance, ce qui a facilité la compréhension dans l'expérience. Il n'est cependant guère question de temps gagné, bien que les messages soient ainsi mieux perçus.

Les chercheurs supposent toutefois que l'influence directe de la communication des autorités est limitée. Les médias ont une plus grande importance, mais ils parlent presque toujours des cas et rarement du temps gagné.

Pour Martin Schonger et Daniela Sele, les mesures Covid ne sont qu'un cas d'application de la théorie du "framing" sur la perception de la croissance exponentielle. Ils peuvent imaginer des phénomènes similaires dans le secteur financier, dans les aspects légaux ou dans les décisions environnementales.