Il segreto di una buona soluzione

Quando un matematico come Mishra studia un fenomeno naturale o affronta un problema tecnico, lo considera innanzitutto come un sistema. Tutti questi sistemi, il loro comportamento, il loro sviluppo e i loro cambiamenti possono essere descritti in modo matematico sotto forma di equazioni. Dalla loro invenzione da parte di Isaac Newton (1642-1726) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), queste equazioni, particolarmente adatte ai processi legati al movimento e al cambiamento, sono state chiamate equazioni differenziali. Esse sono al centro della ricerca di Siddhartha Mishra.

Costruire ponti per flussi caotici

Mishra ha ottenuto due delle sue scoperte più straordinarie con le cosiddette equazioni di Eulero: queste equazioni prendono il nome dal matematico svizzero Leonhard Euler (1707-1783). Egli sviluppò un'importante classe di equazioni differenziali parziali che descrivono i flussi che si verificano, ad esempio, attorno a un profilo aerodinamico. Mishra ha risolto un problema delle equazioni di Eulero rimasto aperto per 30 anni proponendo un nuovo algoritmo per un metodo di approssimazione. Ha inoltre sviluppato un approccio risolutivo per alcune equazioni di Eulero, che può essere utilizzato per determinare con maggiore precisione la dinamica di flussi instabili, caotici e turbolenti.

Per la sua ricerca nel campo delle equazioni differenziali parziali non lineari, Siddhartha Mishra è stato premiato con l'ETH. Premio Rössler 2023 ricevuto. Inoltre, il premio di ricerca più importante dell'ETH di Zurigo riconosce la capacità di Mishra di colmare il divario tra i principi matematici e la loro applicazione nella ricerca e nell'industria. Ad esempio, ha sviluppato algoritmi robusti ed efficienti che possono essere utilizzati per risolvere equazioni differenziali parziali non lineari. Simulare più velocemente e con maggiore precisione sui supercomputer può. Queste simulazioni aprono nuove strade per la risoluzione di problemi reali in campi di ricerca come l'astrofisica, la fisica solare, la geofisica, la dinamica del clima e la biologia.

Equazioni astratte per problemi reali

I problemi reali sono il punto di forza della ricerca di Siddhartha Mishra: "I fenomeni di cui mi occupo hanno un impatto reale sul mondo", dice Mishra, "e la comprensione degli effetti del cambiamento è la chiave per capire i processi fisici e tecnici nel mondo reale"."Le domande tipiche della sua ricerca sono, ad esempio: "Di quanto diminuisce la resistenza dell'aria se la forma dell'ala di un aereo viene modificata in un certo modo? E quante emissioni di carbonio si possono risparmiare con una forma più aerodinamica?". Orientamento alle applicazioni. Collabora regolarmente con ricercatori di ingegneria e con l'industria. Ad esempio, ha sviluppato algoritmi veloci con i ricercatori dell'Empa per simulare un processo di produzione additiva industriale per la stampa 3D. Gli algoritmi di Mishra vengono utilizzati per posizionare un raggio laser in tempo reale in modo che fresi la forma desiderata da un blocco di metallo.

"La cosa sorprendente della matematica è come le sue equazioni astratte permettano di trovare sempre nuove soluzioni e applicazioni di grande rilevanza per l'economia e la società", afferma Max Rössler, il fondatore del premio Rössler, che ha studiato matematica all'ETH di Zurigo, ha conseguito il dottorato sui calcoli delle orbite nei viaggi spaziali e ha insegnato all'Institute for Operations Research. "La ricerca di Siddhartha Mishra dimostra in modo impressionante l'incredibile applicabilità della matematica, con le sue equazioni che supportano le previsioni sul tempo, sui terremoti o sugli tsunami, per esempio, o che consentono anche applicazioni produttive come la stampa 3D con i metalli nella produzione industriale."

Approcci alle relazioni complesse

Di norma, le equazioni differenziali parziali non lineari che Mishra studia si riferiscono a fenomeni reali che - come le nuvole, i tornado o le tempeste solari - sono molto complessi e stratificati e contengono molte dipendenze, interazioni e incertezze. Questi problemi sono spesso così complessi da non poter essere descritti completamente con semplici equazioni. Una soluzione soddisfa un'equazione se, inserendo valori concreti, produce un'affermazione vera che corrisponde ai fatti misurati.

Quando si tratta di fenomeni naturali altamente complessi e multidimensionali, i matematici come Mishra lavorano con approssimazioni alle soluzioni delle equazioni. I problemi del mondo reale spesso non possono essere risolti senza metodi di approssimazione. "La natura stessa e le equazioni che usiamo per modellare la natura sono molto spesso troppo complesse per consentire in definitiva qualcosa di diverso dalle approssimazioni", dice Mishra, "in un certo senso, tutta la matematica è un'approssimazione, come dicevano già gli antichi greci e i matematici indiani del primo secolo".

Oggi, matematici come Mishra hanno a disposizione potenti computer. "I supercomputer possono risolvere approssimativamente le equazioni differenziali di sistemi complessi", afferma Mishra. Mishra ha ricevuto anche il premio Rössler per aver formulato con molta attenzione le soluzioni approssimate "più deboli" e averle tradotte in algoritmi. La qualità dei suoi algoritmi sta nel fatto che conservano particolarmente bene la struttura di un'equazione matematica, aumentando così l'accuratezza delle simulazioni. Tuttavia, i metodi di approssimazione numerica non sono solo di utilità pratica per Mishra, ma svolgono anche un ruolo fondamentale nel dimostrare la validità, la portata e l'effetto di un'equazione.

Apprendimento automatico per velocità e precisione

Recentemente, Siddhartha Mishra, che è membro del ETH AI Center Ha iniziato a sviluppare algoritmi di apprendimento automatico molto potenti. Il suo obiettivo iniziale era quello di ridurre il tempo di calcolo delle simulazioni. Ora ci si chiede sempre più spesso come l'apprendimento automatico possa aumentare l'accuratezza di una simulazione e risolvere problemi precedentemente irrisolvibili.

Mishra ha già diversi esempi di come l'apprendimento automatico possa accelerare i tempi di calcolo:

• Nel caso del processo di stampa 3D dei metalli, il suo approccio ha ridotto il tempo di calcolo della simulazione da circa quattro ore a un decimo di secondo (0,1 s).
• Per un sistema di allerta tsunami, il tempo di calcolo con l'approccio di apprendimento di Mishra è di circa un centesimo di secondo (10^-2s). In precedenza, ci voleva circa un'ora per prevedere come si sarebbe sviluppato e diffuso uno tsunami dal momento dell'evento sismico.

"Le simulazioni con l'apprendimento automatico non dovrebbero essere solo dieci volte più veloci, ma da diecimila a centomila volte più veloci", afferma Mishra. Un esempio di come gli algoritmi di apprendimento aumentino l'accuratezza di una simulazione viene dalla ricerca geofisica. Insieme a Yunan Yang, che di recente ha condotto ricerche presso l'Istituto di studi teorici, e altri collaboratori, ha proposto un nuovo algoritmo di apprendimento automatico per determinare le proprietà geofisiche del sottosuolo attraverso l'imaging sismico, cioè emettendo onde sismiche nel terreno e registrandone la radiazione di ritorno in stazioni di monitoraggio in superficie. Gli algoritmi di Mishra e Yang sono da quattro a cinque volte più veloci di quelli precedenti e sono anche da due a quattro volte più precisi.

Mishra trae ispirazione dalla fisica anche per i suoi algoritmi di apprendimento automatico: da un lato, utilizza l'apprendimento automatico per questioni di fisica. Dall'altro, utilizza principi e concetti fisici per sviluppare sistemi di apprendimento automatico più potenti, robusti e affidabili, ad esempio per migliorare l'imaging in neurologia.